\(f\) est continue sur \(\Rr\) et admet donc des primitives sur \(\Rr\). Soit \(F\) une primitive donnée de \(f\) sur \(\Rr\). Notons \((*)\) la relation :

\[\forall(x,y)\in\Rr^2,\;f(x)f(y)=F(x+y)-F(x-y).\]

Pour \(x=y=0\), on obtient \(forall x\in\Rr\), \(f(0)=0\). Puis \(x=0\) fournit \(\forall y\in\Rr,\;F(y)-F(-y)=0\). \(F\) est donc nécessairement paire et sa dérivée \(f\) est nécessairement impaire.

La fonction nulle est solution du problème. Soit \(f\) une éventuelle solution non nulle. Il existe alors un réel \(y_0\) tel que \(f(y_0)\neq0\). Pour tout réel \(x\), on a alors

\[f(x)=\frac{1}{f(y_0)}\int_{x-y_0}^{x+y_0}f(t)\;dt=\frac{1}{f(y_0)}(F(x+y_0)-F(x-y_0)).\]

\(f\) est continue sur \(\Rr\) et donc \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr\). Il en est de même de la fonction \(x\mapsto\frac{1}{f(y_0)}(F(x+y_0)-F(x-y_0))\) et donc de \(f\). Mais alors, \(F\) est de classe \(C^2\) sur \(\Rr\) et donc \(f\) l’est aussi (\(f\) est en fait de classe \(C^\infty\) par récurrence).

En dérivant \((*)\) à \(y\) fixé, on obtient \(f'(x)f(y)=f(x+y)-f(x-y)\) \((**)\), mais en dérivant à \(x\) fixé, on obtient aussi \(f(x)f'(y)=f(x+y)+f(x-y)\) \((***)\). En redérivant \((**)\) à \(y\) fixé, on obtient \(f''(x)f(y)=f'(x+y)-f'(x-y)\) et en dérivant \((***)\) à \(x\) fixé, on obtient \(f(x)f''(y)=f'(x+y)-f'(x-y)\). Mais alors,

\[\forall(x,y)\in\Rr^2,\;f''(x)f(y)=f(x)f''(y),\]

et en particulier,

\[\forall x\in\Rr,\;f''(x)-\frac{f''(y_0)}{f(y_0)}f(x)=0.\]

On a montré que si \(f\) est solution du problème, il existe un réel \(\lambda\) tel que \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y''-\lambda y=0\) \((E)\).

, en posant \(k=\sqrt{\lambda}\), \((E)\) s’écrit \(y''-k^2y=0\). Les solutions de \((E)\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto A\sh(kx)+B\ch(kx)\), \((A,B)\in\Rr^2\) et les solutions impaires de \((E)\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto A\sh(kx)\), \(A\in\Rr\).

Réciproquement, soit \(k\) un réel strictement positif. Pour \(A\in\Rr^*\) (on sait que la fonction nulle est solution) et \(x\in\Rr\), posons \(f(x)=A\sh(kx)\). Alors

\[\int_{x-y}^{x+y}f(t)\;dt=\frac{A}{k}(\ch(k(x+y))-\ch(k(x-y)))\frac{2A}{k}\sh(kx)\sh(ky)=\frac{2}{kA}f(x)f(y).\]

\(f\) est solution si et seulement si \(\frac{2}{kA}=1\) ou encore \(A=\frac{2}{k}\).
, en posant \(k=\sqrt{-\lambda}\), \((E)\) s’écrit \(y''+k^2y=0\). Les solutions de \((E)\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto A\sin(kx)+B\cos(kx)\), \((A,B)\in\Rr^2\) et les solutions impaires de \((E)\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto A\sin(kx)\), \(A\in\Rr\).

Réciproquement, soit \(k\) un réel strictement positif. Pour \(A\in\Rr^*\) et \(x\in\Rr\), posons \(f(x)=A\sin(kx)\). Alors

\[\int_{x-y}^{x+y}f(t)\;dt=\frac{A}{k}(\cos(k(x-y))-\cos(k(x+y)))=\frac{2A}{k}\sin(kx)\sin(ky)=\frac{2}{kA}f(x)f(y).\]

\(f\) est solution si et seulement si \(\frac{2}{kA}=1\) ou encore \(A=\frac{2}{k}\).
, \((E)\) s’écrit \(y''=0\). Les solutions de \((E)\) sont les fonctions affines et les solutions impaires de \((E)\) sont les fonctions de la forme \(x\mapsto Ax\), \(A\in\Rr\).

Réciproquement, si \(f(x)=Ax\)

\[\int_{x-y}^{x+y}f(t)\;dt=\frac{A}{2}((x+y)^2-(x-y)^2)=2Axy=\frac{2}{A}f(x)f(y),\]

et \(f\) est solution si et seulement si \(A=2\).

Les solutions sont la fonction nulle, la fonction \(x\mapsto2x\), les fonctions \(x\mapsto\frac{2}{k}\sin(kx)\), \(k>0\) et les fonctions \(x\mapsto\frac{2}{k}\sh(kx)\), \(k>0\).

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