$\int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}}dx$

Le changement de variable a pour but de se ramener à quelque chose de connu. Ici nous avons une fraction avec une racine carrée au dénominateur et sous la racine un polynôme de degré $2$ . Ce que l’on sait intégrer c’est $\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du = \arcsin u + c,$ car on connaît la dérivée de la fonction $\arcsin(t)$ c’est $\arcsin'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ . On va donc essayer de s’y ramener. Essayons d’écrire ce qu’il y a sous la racine, $4x-x^2$ sous la forme $1-t^2$ : $4x-x^2 = 4 - (x-2)^2 = 4 \bigg( 1 - \big(\frac 12 x - 1\big)^2\bigg)$ . Donc il est naturel d’essayer le changement de variable $u= \frac 12 x - 1$ pour lequel $4x-x^2=4(1-u^2)$ et $dx = 2du$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{4(1-u^2)}} 2du = \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \arcsin u + c = \arcsin \left( \frac 12x-1\right) +c$ La fonction $\arcsin u$ est définie et dérivable pour $u\in]-1,1[$ alors cette primitive est définie sur $x \in \left] 0,4\right[$ .

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