\(\int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}}dx\)

Le changement de variable a pour but de se ramener à quelque chose de connu. Ici nous avons une fraction avec une racine carrée au dénominateur et sous la racine un polynôme de degré \(2\). Ce que l’on sait intégrer c’est \[\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du = \arcsin u + c,\] car on connaît la dérivée de la fonction \(\arcsin(t)\) c’est \(\arcsin'(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\). On va donc essayer de s’y ramener. Essayons d’écrire ce qu’il y a sous la racine, \(4x-x^2\) sous la forme \(1-t^2\) : \(4x-x^2 = 4 - (x-2)^2 = 4 \bigg( 1 - \big(\frac 12 x - 1\big)^2\bigg)\). Donc il est naturel d’essayer le changement de variable \(u= \frac 12 x - 1\) pour lequel \(4x-x^2=4(1-u^2)\) et \(dx = 2du\).

\[\int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}}dx = \int \frac{1}{\sqrt{4(1-u^2)}} 2du = \int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \arcsin u + c = \arcsin \left( \frac 12x-1\right) +c\] La fonction \(\arcsin u\) est définie et dérivable pour \(u\in]-1,1[\) alors cette primitive est définie sur \(x \in \left] 0,4\right[\).

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