Soit \(v_n=\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{k^2}{n^2}\right) ^{\frac 1n}\), notons \[w_n = \ln v_n = \sum_{k=1}^n \ln\left( \left(1+\frac{k^2}{n^2}\right)^{\frac 1n} \right) = \frac 1 n \sum_{k=1}^n \ln \left(1+\frac{k^2}{n^2}\right).\] En posant \(g(x) = \ln (1+x^2)\) nous reconnaissons la somme de Riemann correspondant à \(I = \int_0^1 g(x)dx\).

Calculons cette intégrale : \[\begin{align*} I &= \int_0^1 g(x)dx = \int_0^1 \ln(1+x^2) dx \\ &= \big[x\ln(1+x^2)\big]_0^1 - \int_0^1 x \frac{2x}{1+x^2}dx \quad \text{par intégration par parties} \\ &= \ln 2 -2 \int_0^1 1-\frac 1{1+x^2} dx \\ &= \ln 2 - 2\big[x-\arctan x\big]_0^1 \\ &= \ln 2 - 2 + \frac \pi 2. \\ \end{align*}\]

Nous venons de prouver que \(w_n=\ln v_n\) converge vers \(I=\ln 2 - 2 + \frac \pi 2\), donc \(v_n = \exp w_n\) converge vers \(\exp(\ln 2 - 2 + \frac \pi 2) = 2e^{\frac \pi 2 -2}\). Bilan \((v_n)\) a pour limite \(2e^{\frac \pi 2 -2}\).

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