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Montrer que la fonction $f~:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ définie par : $$f(x) = \left\{\begin{array}{l} 1 \quad\text{si}\quad x\in\mathbb{Q}\\ 0 \quad\text{si} \quad x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{array}\right.$$ n’est pas Riemann-intégrable sur $[0,1]$.

Montrer que la fonction $g~:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ définie par : $$g(x) = \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{q} \quad\text{si}\quad \, x=\frac{p}{q} \quad\text{avec}\,\, p \,\,\text{et} \,\,q \,\,\text{premiers entre eux}\\ 0 \quad\text{si} \quad x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \text{ ou } x=0 \end{array}\right.$$ est Riemann-intégrable sur $[0,1]$.