Soit \(f : {[a,b]} \to {\R^+}\) continue non identiquement nulle. On pose \(I_n = \int_{t=a}^b f^n(t)\,d t\) et \(u_n = \sqrt[n]{I_n}\).
Soit \(M = \max\{ f(x)\text{ tel que } a \le x \le b \}\) et \(c \in {[a,b]}\) tel que \(f(c) = M\).
1
Comparer \(M\) et \(u_n\).
2
En utilisant la continuité de \(f\) en \(c\), démontrer que : \(\forall\ \varepsilon \in{]0,M[}\) il existe \(\delta > 0\) tel que \(I_n \ge \delta(M-\varepsilon)^n\).
3
En déduire \(\lim_{n\to\infty} u_n\).