Pour $t$ réel, posons $g(t)=\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}$ puis, pour $x$ réel, $G(x)=\int_{1}^{x}g(t)\;dt$ . Puisque $g$ est définie et continue sur $\Rr$ , $G$ est définie sur $\Rr$ et de classe $C^1$ et $G'=g$ ( $G$ est la primitive de $g$ sur $\Rr$ qui s’annule en $1$ ). Plus précisément, $g$ est de classe $C^\infty$ sur $\Rr$ et donc $G$ est de classe $C^\infty$ sur $\Rr$ .

Finalement, $f$ est définie et de classe $C^\infty$ sur $]-\infty,1[\cup]1,+\infty[$ .

Etude en 1.

Pour $x\neq1$ ,

$\begin{align*} f(x) &= \frac{G(x)}{x-1} \\ &= \frac{G(1)+G'(1)(x-1)+\frac{G''(1)}{2}(x-1)^2+o((x-1)^2)}{x-1} \\ &= g(1)+g'(1)(x-1)+o((x-1)). \end{align*}$

Donc, $f$ admet en $1$ un développement limité d’ordre $1$ . Par suite, $f$ se prolonge par continuité en $1$ en posant $f(1)=g(1)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ puis le prolongement est dérivable en $1$ et $f'(1)=\frac{1}{2}g'(1)$ . Or, pour tout réel $x$ , $g'(x)=2x\frac{1}{\sqrt{1+x^8}}+x2.(-\frac{4x^7}{(1+x^8)\sqrt{1+x^8}})=2x\frac{1-x^8}{(1+x^8)\sqrt{1+x^8}}$ et $g'(1)=0$ . Donc, $f'(1)=0$ .

Dérivée. Variations

Pour $x\neq1$ , $f'(x)=\frac{G'(x)(x-1)-G(x)}{(x-1)^2}$ .

$f'(x)$ est du signe de $h(x)=G'(x)(x-1)-G(x)$ dont la dérivée est $h'(x)=G''(x)(x-1)+G'(x)-G'(x)=(x-1)g'(x)$ . $h'$ est du signe de $2x(1-x^8)(x-1)$ ou encore du signe de $-2x(1+x)$ . $h$ est donc décroissante sur $]-\infty,-1]$ et sur $[0,+\infty[$ et croissante sur $[-1,0]$ .

Maintenant, quand $x$ tend vers $+\infty$ (ou $-\infty$ ), $G'(x)(x-1)=g(x)(x-1)\sim x\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}$ et donc $G'(x)(x-1)$ tend vers $0$ . Ensuite, pour $x\geq1$

$0\leq G(x)\leq\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{t^8}}\;dt=1-\frac{1}{x}\leq1,$

et $G$ est bornée au voisinage de $+\infty$ (ou de $-\infty$ ). Comme $G$ est croissante sur $\Rr$ , $G$ a une limite réelle en $+\infty$ et en $-\infty$ . Cette limite est strictement positive en $+\infty$ et strictement négative en $-\infty$ . Par suite, $h$ a une limite strictement positive en $-\infty$ et une limite strictement négative en $+\infty$ . Sur $[0,+\infty[$ , $h$ est décroissante et s’annule en $1$ . Donc, $h$ est positive sur $[0,1]$ et négative sur $[1,+\infty[$ .

Ensuite,

$h(-1)=\int_{-1}^{1}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt-\sqrt{2}=2\int_{0}^{1}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt-\sqrt{2}<2\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2}}\;dt-\sqrt{2}=0,$

et $h(-1)<0$ . $h$ s’annule donc, une et une seule fois sur $]-\infty,-1[$ en un certain réel $\alpha$ et une et une seule fois sur $]-1,0[$ en un certain réel $\beta$ . De plus, $h$ est strictement positive sur $]-\infty,\alpha[$ , strictement négative sur $]\alpha,\beta[$ , strictement positive sur $]\beta,1[$ et strictement négative sur $]1,+\infty[$ .

$f$ est strictement croissante sur $]-\infty,\alpha]$ , strictement décroissante sur $[\alpha,\beta]$ , strictement croissante sur $[\beta,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty[$ .

Etude en l’infini.

En $+\infty$ ou $-\infty$ , $G$ a une limite réelle et donc $f$ tend vers $0$ .

exo7 5450