1
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin t}t \,d t = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \,d t\).
2
Montrer que \(I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 nt}{t^2}\,d t\) est comprise entre \(A_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 nt}{\sin^2 t}\,d t\) et \(B_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \mathrm{cotan}^2 t\sin^2 nt\,d t\).
3
Calculer \(A_n+A_{n+2} - 2A_{n+1}\) et \(A_n-B_n\). En déduire les valeurs de \(A_n\) et \(B_n\) en fonction de \(n\).
4
Lorsque \(n\to\infty\) montrer que \(\frac{I_n}n \to J = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2}\,d t\) et donner la valeur de cette dernière intégrale.