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A l’aide d’une intégration par parties, montrer que $\int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin t}t \,d t = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \,d t$.

Montrer que $I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 nt}{t^2}\,d t$ est comprise entre $A_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 nt}{\sin^2 t}\,d t$ et $B_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \mathrm{cotan}^2 t\sin^2 nt\,d t$.

Calculer $A_n+A_{n+2} - 2A_{n+1}$ et $A_n-B_n$. En déduire les valeurs de $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$.

Lorsque $n\to\infty$ montrer que $\frac{I_n}n \to J = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2}\,d t$ et donner la valeur de cette dernière intégrale.