Soit \(\displaystyle I_n=\int_0^{\frac \pi 2}(\sin x)^n \, d x\) pour \(n\in \N\).
1
Montrer que \(I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n\). Expliciter \(I_n\). En déduire \(\int_{-1}^1\left( 1-x^2\right) ^n d x\).
2
Montrer que \(\left( I_n\right) _n\) est positive décroissante. Montrer que \(I_n\sim I_{n+1}\)
3
Simplifier \(I_n \cdot I_{n+1}\). Montrer que \(I_n\sim \sqrt{ \frac \pi {2n}}\). En déduire \(\frac{1 \cdot 3 \cdots \left( 2n+1\right) }{2 \cdot 4 \cdots \left( 2n\right) }\sim 2\sqrt{\frac n \pi }\).