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Montrer que $I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n$. Expliciter $I_n$. En déduire $\int_{-1}^1\left( 1-x^2\right) ^n d x$.

Montrer que $\left( I_n\right) _n$ est positive décroissante. Montrer que $I_n\sim I_{n+1}$

Simplifier $I_n \cdot I_{n+1}$. Montrer que $I_n\sim \sqrt{ \frac \pi {2n}}$. En déduire $\frac{1 \cdot 3 \cdots \left( 2n+1\right) }{2 \cdot 4 \cdots \left( 2n\right) }\sim 2\sqrt{\frac n \pi }$.