L1 Analyse Calcul d'intégrales Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPI 3 questions

exo7 1275

Soit f:[a,b]→Rf :[a,b]\rightarrow { \Rr} une fonction intégrable.

1

Montrer que ff est bornée. On pose M=sup⁡x∈[a,b]∣f(x)∣.\displaystyle{ M=\sup _{x\in [a,b]}\vert f(x)\vert } .

2

Soient xx et y∈[a,b]y\in [a,b] Montrer que ∣∫xyf(t)dt∣≤M∣x−y∣.\displaystyle{ \vert \int _x ^y f(t)dt\vert \leq M\vert x-y\vert } . En déduire que l’application F:x↦∫axf(t)dt\displaystyle{F:x\mapsto \int _a ^x f(t)dt } est continue sur [a,b].[a, b] .

3

Soit x0∈[a,b].x_0\in [a,b] . Montrer que si ff est continue en x0x_0 alors FF est dérivable en x0.x_0 .

Exercice Df0C

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