Soit \(f :[a,b]\rightarrow { \Rr}\) une fonction intégrable.
1
Montrer que \(f\) est bornée. On pose \(\displaystyle{ M=\sup _{x\in [a,b]}\vert f(x)\vert } .\)
2
Soient \(x\) et \(y\in [a,b]\) Montrer que \(\displaystyle{ \vert \int _x ^y f(t)dt\vert \leq M\vert x-y\vert } .\) En déduire que l’application \(\displaystyle{F:x\mapsto \int _a ^x f(t)dt }\) est continue sur \([a, b] .\)
3
Soit \(x_0\in [a,b] .\) Montrer que si \(f\) est continue en \(x_0\) alors \(F\) est dérivable en \(x_0 .\)