Soient \({f,g} : {[a,b]} \to \R\) continues, \(f\) positive.
1
Démontrer qu’il existe \(c \in {[a,b]}\) tel que \(\int_{t=a}^b f(t)g(t)\,d t = g(c) \int_{t=a}^b f(t)\,d t\).
2
Si \(f\) ne s’annule pas, montrer que \(c \in {]a,b[}\).
3
Application : Soit \(f\) continue au voisinage de \(0\). Déterminer \(\lim_{x\to 0}\frac1{x^2} \int_{t=0}^x tf(t)\,d t\).