Soit \(E\) l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur \([a,b]\).
Soit \(\begin{array}[t]{cccc} \varphi~:&E&\rightarrow&\Rr\\ &f&\mapsto&\left(\int_{a}^{b}f(t)\;dt\right)\left(\int_{a}^{b}\frac{1}{f(t)}\;dt\right) \end{array}\).
1
Montrer que \(\varphi(E)\) n’est pas majoré.
2
Montrer que \(\varphi(E)\) est minoré. Trouver \(m=\mbox{Inf}\{\varphi(f),\;f\in E\}\). Montrer que cette borne infèrieure est atteinte et trouver toutes les \(f\) de \(E\) telles que \(\varphi(f)=m\).