L1 Analyse Calcul d'intégrales Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 5449

Soit EE l’ensemble des fonctions continues strictement positives sur [a,b][a,b].

Soit φ :E→Rf↦(∫abf(t)  dt)(∫ab1f(t)  dt)\begin{array}{cccc} \varphi~:&E&\rightarrow&\Rr\\ &f&\mapsto&\left(\int_{a}^{b}f(t)\;dt\right)\left(\int_{a}^{b}\frac{1}{f(t)}\;dt\right) \end{array}.

1

Montrer que φ(E)\varphi(E) n’est pas majoré.

2

Montrer que φ(E)\varphi(E) est minoré. Trouver m=Inf{φ(f),  f∈E}m=\mbox{Inf}\{\varphi(f),\;f\in E\}. Montrer que cette borne infèrieure est atteinte et trouver toutes les ff de EE telles que φ(f)=m\varphi(f)=m.

Exercice 1mwo

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