Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions réelles périodiques de période \(T\) continues sur \(\Rr\). On appelle produit de convolution de \(f\) et \(g\) la fonction \(h\) notée \(f \star g\) et définie par \[h(x) = {1 \over T} \int_0^T f(t) g(x-t) ~dt.\]
1
Montrer que \(h\) est une fonction périodique de période \(T\).
2
Montrer \[h(x)={1 \over T} \int_a^{a+T} f(t) g(x-t) ~dt, \qquad \forall a \in \Rr.\]
3
En déduire que \(f \star g = g \star f\).