L1 Analyse Calcul d'intégrales Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 2324

Soient ff et gg deux fonctions réelles périodiques de période TT continues sur R\Rr. On appelle produit de convolution de ff et gg la fonction hh notée f⋆gf \star g et définie par h(x)=1T∫0Tf(t)g(x−t) dt.h(x) = {1 \over T} \int_0^T f(t) g(x-t) ~dt.

1

Montrer que hh est une fonction périodique de période TT.

2

Montrer h(x)=1T∫aa+Tf(t)g(x−t) dt,∀a∈R.h(x)={1 \over T} \int_a^{a+T} f(t) g(x-t) ~dt, \qquad \forall a \in \Rr.

3

En déduire que f⋆g=g⋆ff \star g = g \star f.

Exercice aw3g

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