Soit \(f\) une application continue de \({\Rr}^{+}\) dans \({\Rr}\) et \(F\) de \({\Rr}^{+*}\) dans \({\Rr}\) définie par : \[\forall x\in {\Rr}^{+*},F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt.\]
1
Montrer que si \(f\) admet une limite \(\ell\) en \(+\infty\), alors \(F\) a aussi la limite \(\ell\) en \(+\infty .\)
2
Donner un exemple où \(f\) n’a pas de limite en \(+\infty\) mais où \(F\) tend vers \(0\).
3
Montrer que si \(f\rightarrow \infty\) quand \(x\rightarrow \infty\), alors \(F\rightarrow \infty\) quand \(x\rightarrow \infty .\)