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Pour $n$ entier naturel, on pose $In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx$ .

Calculer $I_0$ et $I_1$ . Trouver une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ . En déduire $I_n$ en fonction de $n$ .

Montrer que $I_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , et en déduire les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}$ ( $n\in\Nn^*$ ) et $v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$ .