Pour \(n\) entier naturel, on pose \(In=\int_{0}^{\pi/4}\tan^nx\;dx\).
1
Calculer \(I_0\) et \(I_1\). Trouver une relation entre \(I_n\) et \(I_{n+2}\). En déduire \(I_n\) en fonction de \(n\).
2
Montrer que \(I_n\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), et en déduire les limites des suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\) (\(n\in\Nn^*\)) et \(v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\).