L’inégalité \(|ff''|\leqslant\frac{1}{2}(f^2+f''^2)\) montre que la fonction \(ff''\) est intégrable sur \(\Rr\) puis, pour \(X\) et \(Y\) tels que \(X\leqslant Y\), une intégration par parties fournit

\(\int_{X}^{Y}f'^2(x)\;dx=\left[f(x)f'(x)\right]_X^Y-\int_{X}^{Y}f(x)f''(x)\;dx\).

Puisque la fonction \(f'^2\) est positive, l’intégrabilité de \(f'^2\) sur \(\Rr\) équivaut à l’existence d’une limite réelle quand \(X\) tend vers \(+\infty\) et \(Y\) tend vers \(-\infty\) de \(\int_{X}^{Y}f'^2(x)\;dx\) et puisque la fonction \(ff''\) est intégrable sur \(\Rr\), l’existence de cette limite équivaut, d’après l’égalité précédente, à l’existence d’une limite réelle en \(+\infty\) et \(-\infty\) pour la fonction \(ff'\).

Si \(f'^2\) n’est pas intégrable sur \(\Rr^+\) alors \(\int_{0}^{+\infty}f'^2(x)dx= +\infty\) et donc \(\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)f'(x) = +\infty\). En particulier, pour \(x\) suffisament grand, \(f(x)f'(x)\geqslant1\) puis par intégration \(\frac{1}{2}(f^2(x)-f^2(0))\geqslant x\) contredisant l’intégrabilité de la fonction \(f^2\) sur \(\Rr\). Donc la fonction \(f'^2\) est intégrable sur \(\Rr^+\) et la fonction \(ff'\) a une limite réelle quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

De même la fonction \(f'^2\) est intégrable sur \(\Rr^-\) et la fonction \(ff'\) a une limite réelle quand \(x\) tend vers \(-\infty\).

Si cette limite est un réel non nul \(\ell\), supposons par exemple \(\ell> 0\). Pour \(x\) suffisament grand, on a \(f(x)f'(x)\geqslant\ell\) puis par intégration \(\frac{1}{2}(f^2(x)-f^2(0))\geqslant\ell x\) contredisant de nouveau l’intégrabilité de la fonction \(f^2\). Donc la fonction \(ff'\) tend vers \(0\) en \(+\infty\) et de même en \(-\infty\).

Finalement, la fonction \(f'^2\) est intégrable sur \(\Rr\) et \(\int_{-\infty}^{+\infty}f'^2(x)\;dx =-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)f''(x)\;dx\).

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a

\(\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f'^2(x)\;dx\right)^2=\left(-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)f''(x)\;dx\right)^2\leqslant\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)\;dx\right)^2\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f''^2(x)\;dx\right)^2\).

Puisque les fonctions \(f\) et \(f''\) sont continues sur \(\Rr\), on a l’égalité si et seulement si la famille \((f,f'')\) est liée.

Donc nécessairement, ou bien \(f\) est du type \(x\mapsto A\ch(\omega x)+ B\sh(\omega x)\), \(\omega\) réel non nul, qui est intégrable sur \(\Rr\) si et seulement si \(A = B = 0\), ou bien \(f\) est affine et nulle encore une fois, ou bien \(f\) est du type \(x\mapsto A\cos(\omega x)+ B\sin(\omega x)\) et nulle encore une fois.

Donc, on a l’égalité si et seulement si \(f\) est nulle.

exo7 5725