L’inégalité $|ff''|\leqslant\frac{1}{2}(f^2+f''^2)$ montre que la fonction $ff''$ est intégrable sur $\Rr$ puis, pour $X$ et $Y$ tels que $X\leqslant Y$ , une intégration par parties fournit

$\int_{X}^{Y}f'^2(x)\;dx=\left[f(x)f'(x)\right]_X^Y-\int_{X}^{Y}f(x)f''(x)\;dx$ .

Puisque la fonction $f'^2$ est positive, l’intégrabilité de $f'^2$ sur $\Rr$ équivaut à l’existence d’une limite réelle quand $X$ tend vers $+\infty$ et $Y$ tend vers $-\infty$ de $\int_{X}^{Y}f'^2(x)\;dx$ et puisque la fonction $ff''$ est intégrable sur $\Rr$ , l’existence de cette limite équivaut, d’après l’égalité précédente, à l’existence d’une limite réelle en $+\infty$ et $-\infty$ pour la fonction $ff'$ .

Si $f'^2$ n’est pas intégrable sur $\Rr^+$ alors $\int_{0}^{+\infty}f'^2(x)dx= +\infty$ et donc $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)f'(x) = +\infty$ . En particulier, pour $x$ suffisament grand, $f(x)f'(x)\geqslant1$ puis par intégration $\frac{1}{2}(f^2(x)-f^2(0))\geqslant x$ contredisant l’intégrabilité de la fonction $f^2$ sur $\Rr$ . Donc la fonction $f'^2$ est intégrable sur $\Rr^+$ et la fonction $ff'$ a une limite réelle quand $x$ tend vers $+\infty$ .

De même la fonction $f'^2$ est intégrable sur $\Rr^-$ et la fonction $ff'$ a une limite réelle quand $x$ tend vers $-\infty$ .

Si cette limite est un réel non nul $\ell$ , supposons par exemple $\ell> 0$ . Pour $x$ suffisament grand, on a $f(x)f'(x)\geqslant\ell$ puis par intégration $\frac{1}{2}(f^2(x)-f^2(0))\geqslant\ell x$ contredisant de nouveau l’intégrabilité de la fonction $f^2$ . Donc la fonction $ff'$ tend vers $0$ en $+\infty$ et de même en $-\infty$ .

Finalement, la fonction $f'^2$ est intégrable sur $\Rr$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}f'^2(x)\;dx =-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)f''(x)\;dx$ .

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a

$\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f'^2(x)\;dx\right)^2=\left(-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)f''(x)\;dx\right)^2\leqslant\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)\;dx\right)^2\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f''^2(x)\;dx\right)^2$ .

Puisque les fonctions $f$ et $f''$ sont continues sur $\Rr$ , on a l’égalité si et seulement si la famille $(f,f'')$ est liée.

Donc nécessairement, ou bien $f$ est du type $x\mapsto A\ch(\omega x)+ B\sh(\omega x)$ , $\omega$ réel non nul, qui est intégrable sur $\Rr$ si et seulement si $A = B = 0$ , ou bien $f$ est affine et nulle encore une fois, ou bien $f$ est du type $x\mapsto A\cos(\omega x)+ B\sin(\omega x)$ et nulle encore une fois.

Donc, on a l’égalité si et seulement si $f$ est nulle.

exo7 5725