Notons \(I=\int \cos x\exp x \, dx\).

Regardons l’intégration par parties avec \(u=\exp x\) et \(v'=\cos x\). Alors \(u' = \exp x\) et \(v=\sin x\).

Donc

\[I = \int \cos x\exp x \,dx= \big[ \sin x \exp x \big] - \int \sin x \exp x\,dx\]

Si l’on note \(J = \int \sin x \exp x\,dx\), alors on a obtenu \[\begin{equation} \label{eq:intI} I = \big[ \sin x \exp x \big] - J \end{equation}\]

Pour calculer \(J\) on refait une deuxième intégration par parties avec \(u=\exp x\) et \(v'=\sin x\). Ce qui donne \[J = \int \sin x \exp x\,dx = \big[ -\cos x \exp x \big] - \int -\cos x \exp x\,dx = \big[ -\cos x \exp x \big] + I\] Nous avons ainsi une deuxième équation : \[\begin{equation} \label{eq:intJ} J = \big[ -\cos x \exp x \big] + I \end{equation}\]

Repartons de l’équation ([eq:intI]) dans laquelle on remplace \(J\) par la formule obtenue dans l’équation ([eq:intJ]).

\[I=\big[ \sin x \exp x \big] - J = \big[ \sin x \exp x \big] - \big[ -\cos x \exp x \big] - I\] D’où \[2I = \big[ \sin x \exp x \big] + \big[ \cos x \exp x \big]\]

Ce qui nous permet de calculer notre intégrale : \[I= \frac12 (\sin x + \cos x) \exp x + c.\]

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