1 Montrer que ∀x>−1 ln(1+x)≤x.\forall x>-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.∀x>−1ln(1+x)≤x. 2 Soit n∈N∗.n \in \Nn^{*}.n∈N∗. Montrer que ∀x∈[0,n] (1−xn)n≤e−x≤(1+xn)−n.\forall x \in [0, n]\, \, (1-\frac{x}{n})^{n}\leq e^{-x} \leq (1 + \frac{x}{n})^{-n}.∀x∈[0,n](1−nx)n≤e−x≤(1+nx)−n. 3 En déduire que ∫0n (1−t2n)ndt≤∫0n e−t2dt≤∫0n 1(1+t2n)ndt.\displaystyle{\int _{0}^{\sqrt {n}}\!\left (1-{\frac {{t}^{2}}{n}}\right )^{n}{dt}} \leq \displaystyle{\int _{0}^{\sqrt {n}}\!{e^{-{t}^{2}}}{dt}} \leq \displaystyle{\int _{0}^{\sqrt {n}}\!\frac{1}{\left (1+{\frac {{t}^{2}}{n}}\right )^n}{dt}}.∫0n(1−nt2)ndt≤∫0ne−t2dt≤∫0n(1+nt2)n1dt. Rappel (intégrales de Wallis) : In=∫0π2 (cos(θ))ndθ∼π2n.I_{n} = \displaystyle{\int _{0}^{{\frac {\pi }{2}}}\!\left (\cos(\theta)\right )^{n}{d\theta}} \sim \sqrt {\frac{\pi}{2n}}.In=∫02π(cos(θ))ndθ∼2nπ. 4 Montrer que ∫0∞1(1+u2)ndu\displaystyle{\int _{0}^{\infty } \frac 1{(1+{u}^{2})^n}{du}}∫0∞(1+u2)n1du existe et vaut I2n−2.I_{2n-2}.I2n−2. 5 Montrer que ∫0∞ e−x2dx\displaystyle{\int _{0}^{\infty }\!{e^{-{x}^{2}}}{dx}}∫0∞e−x2dx existe et vaut π2\frac{\sqrt\pi}{2}2π. Signaler une erreur Exercice JNsq Signaler une erreur ✕ ProblèmePrécisionsEnvoi Quel est le problème ? Erreur dans l’énoncé Énoncé faux, incomplet ou ambigu, hypothèse manquante. Erreur dans la correction Calcul faux, résultat erroné, raisonnement incomplet dans une réponse ou une indication. Coquille ou rédaction Faute de frappe ou d’orthographe, notation incohérente, phrase maladroite. Problème d’affichage Formule mal rendue, image manquante, mise en page cassée. Mauvais classement Niveau, module ou chapitre qui ne correspond pas à l’exercice. Rattachement aux programmes de CPGE Programme de prépa indiqué à tort, ou programme qui manque. Doublon Le même exercice existe déjà sous un autre identifiant. Autre chose Tout ce qui n’entre pas dans les cas précédents.