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Soit \(f\) définie et continue sur \([0,+\infty\mathclose[\), vérifiant \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=l\). Montrer que \(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\,dt=l\) (étant donné \(\epsilon>0\), choisir \(A\) assez grand pour que sur \([A,+\infty\mathclose[\) on ait \(l-\epsilon\leq f(t)\leq l+\epsilon\) ; puis encadrer \(\frac{1}{x}\int_A^xf(t)\,dt\), pour \(x>A\) ; estimer l’erreur… et faire un dessin !).
Pour \(x\geq 0\), on pose \(F(x)=\int_0^x\sqrt{1+\frac{\sin^2 t}{1+t^2}}\,dt\). Étudier la branche infinie du graphe de \(F\) quand \(x\to+\infty\).