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Soit $f$ définie et continue sur $[0,+\infty\mathclose[$, vérifiant $\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$. Montrer que $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\,dt=l$ (étant donné $\epsilon>0$, choisir $A$ assez grand pour que sur $[A,+\infty\mathclose[$ on ait $l-\epsilon\leq f(t)\leq l+\epsilon$ ; puis encadrer $\frac{1}{x}\int_A^xf(t)\,dt$, pour $x>A$ ; estimer l’erreur… et faire un dessin !).

Pour $x\geq 0$, on pose $F(x)=\int_0^x\sqrt{1+\frac{\sin^2 t}{1+t^2}}\,dt$. Étudier la branche infinie du graphe de $F$ quand $x\to+\infty$.