Programme de mathématiques MP, MPI
b) Espaces probabilisés
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| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Tribu sur un ensemble $\Omega$. Espace probabilisable $(\Omega,\mathscr{A})$. | La manipulation de tribus n’est pas un objectif du programme. |
Événements. | Généralisation du vocabulaire relatif aux événements introduit en première année. |
Probabilité sur un espace probabilisable, $\sigma$-additivité. Espace probabilisé $(\Omega,\mathscr{A},P)$. | |
Continuité croissante, continuité décroissante. | Application : pour une suite $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ d’événements (non nécessairement monotone), limites quand $n$ tend vers l’infini de $\displaystyle P\Big(\bigcup_{k=0}^{n}A_k\Big)\quad\text{et}\quad P\Big(\bigcap_{k=0}^{n}A_k\Big).$ |
Propriété de sous-additivité de $P$ pour une réunion dénombrable d’événements. | |
Événements négligeables, événements presque sûrs. Une réunion (resp. intersection) finie ou dénombrable d’événements négligeables (resp. presque sûrs) est un événement négligeable (resp. presque sûr). | Systèmes quasi-complets d’événements. Tout développement supplémentaire sur ces notions est hors programme. |
Démonstration de cours sur la fonction de répartition
Soit \(F_X\) une fonction de répartition admettant un point de discontinuité en ...
exo7 6010
Dans une poste d’un petit village, on remarque qu’entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux personnes entrent durant la même minut ...
exo7 6016
Des machines fabriquent des plaques de tôle destinées à être empilées; on estime à 0.1% la proportion de plaques inutilisables. L’utilisation de ce ...
exo7 6954
On considère un cercle. On choisit une corde au hasard et on cherche la probabilité pour que cette corde passe à l’intérieur d’un triangle équilaté ...
Fonction de répartition, démonstration de cours
Soit \(F\) la fonction de répartition d’une variable aléatoire \(X\) quelconque. ...
Reconnaître une loi usuelle et ses paramètres
Pour chaque situation, indiquer la loi de probabilité la plus adaptée et préciser ses paramètres. On justifiera brièvement chaque réponse.