Programme de mathématiques PC
d) Fonctions de classe $\mathscr{C}^2$
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Dérivées partielles d’ordre 2 d’une fonction définie sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Notations $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}$. |
Fonction de classe $\mathscr{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$. | |
Théorème de Schwarz. | La démonstration est hors programme. |
Matrice hessienne en un point $a$ d’une fonction de classe $\mathscr{C}^2$ sur un ouvert de $\mathbb{R}^p$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. | Notation $H_f(a)$. |
Formule de Taylor-Young à l’ordre 2 : $f(a+h)\underset{h\to0}{=}f(a)+\nabla f(a)^{\top}h+\frac{1}{2}h^{\top}H_f(a)h+\mathrm{o}(\lVert h\rVert^2)$. | La démonstration est hors programme. Expression en termes de produit scalaire. |
Composition de fonctions
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’une variable, de classe ...
Fonctions homogènes
Soit \(\alpha \in \R\). Soit \(f \colon \R^* \times \R^* \to \R\) de classe ...