Soit \(\alpha \in \R\). Soit \(f \colon \R^* \times \R^* \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\). On dit que \(f\) est homogène de degré \(\alpha\) si pour tout \((x,y,t) \in \left(\R^*\right)^3\) : \[f(tx,ty) = t^\alpha f(x,y)\]
Donner un exemple de fonction de deux variables homogène de degré 2 et vérifier que ses dérivées partielles sont homogènes de degré 1.
Soit \(f \colon \R^* \times \R^* \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(t \in \R^*\). Pour tout \((x,y) \in \R^* \times \R^*\), on pose \(g_t(x,y) = f(tx,ty)\). En calculant les dérivées partielles de \(g\) de deux manières différentes, montrer que si \(f\) est homogène de degré \(\alpha\) alors \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) sont homogènes de degré \(\alpha-1\).
Démontrer que si \(f\) est homogène de degré \(\alpha\) alors \(f\) vérifie la relation d’Euler : \[\forall (x,y) \in \R^* \times \R^* \qquad x \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \alpha f(x,y)\]
Démontrer que si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) et homogène de degré \(\alpha\) alors \[\forall (x,y) \in \R^* \times \R^* \qquad x^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) + 2xy \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) + y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) = \alpha (\alpha-1) f(x,y)\]