Fonctions homogènes

Donner un exemple de fonction de deux variables homogène de degré 2 et vérifier que ses dérivées partielles sont homogènes de degré 1.

Soit $f \colon \R^* \times \R^* \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $t \in \R^*$. Pour tout $(x,y) \in \R^* \times \R^*$, on pose $g_t(x,y) = f(tx,ty)$. En calculant les dérivées partielles de $g$ de deux manières différentes, montrer que si $f$ est homogène de degré $\alpha$ alors $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ sont homogènes de degré $\alpha-1$.

Démontrer que si $f$ est homogène de degré $\alpha$ alors $f$ vérifie la relation d’Euler : $$\forall (x,y) \in \R^* \times \R^* \qquad x \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \alpha f(x,y)$$

Démontrer que si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et homogène de degré $\alpha$ alors $$\forall (x,y) \in \R^* \times \R^* \qquad x^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) + 2xy \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x,y) + y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y) = \alpha (\alpha-1) f(x,y)$$