Soit \(f : {[a,b]} \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\).
1
On suppose que \(f(a) = f(b) = 0\). Soit \(c \in {]a,b[}\). Montrer qu’il existe \(d \in {]a,b[}\) tel que : \[f(c) = -\frac {(c-a)(b-c)}2 f''(d).\] (Considérer \(g(t) = f(t) + \lambda (t-a)(b-t)\) où \(\lambda\) est choisi de sorte que \(g(c) = 0\))
2
Cas général : Soit \(c \in {]a,b[}\). Montrer qu’il existe \(d \in {]a,b[}\) tel que : \[f(c) = \frac {b-c}{b-a} f(a) + \frac {c-a}{b-a} f(b) -\frac {(c-a)(b-c)}2 f''(d).\]