exo7 3951

On suppose que $f(a) = f(b) = 0$. Soit $c \in {]a,b[}$. Montrer qu’il existe $d \in {]a,b[}$ tel que : $$f(c) = -\frac {(c-a)(b-c)}2 f''(d).$$ (Considérer $g(t) = f(t) + \lambda (t-a)(b-t)$ où $\lambda$ est choisi de sorte que $g(c) = 0$)

Cas général : Soit $c \in {]a,b[}$. Montrer qu’il existe $d \in {]a,b[}$ tel que : $$f(c) = \frac {b-c}{b-a} f(a) + \frac {c-a}{b-a} f(b) -\frac {(c-a)(b-c)}2 f''(d).$$