Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convexes sur \([a,b]\) convergeant simplement vers une fonction \(f\) supposée continue.
Soit \(\varepsilon > 0\).
1
Montrer qu’il existe \(p \in \N^*\) tel que : \(\forall\ x,y \in {[a,b]},\ |x-y| \le \frac {b-a}p \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon\).
On choisit un tel \(p\), et on fixe une subdivision \((a_k)\) de \([a,b]\) telle que \(a_k = a + k\frac {b-a}p\).
2
Soit \(t \in {[0,1]}\). Encadrer \(f_n\bigl(ta_k + (1-t)a_{k+1}\bigr)\) par deux fonctions affines de t en utilisant la convexité de \(f_n\).
3
Montrer que la suite \((f_n)\) converge uniformément vers \(f\).