exo7 4001

Montrer qu’il existe $p \in \N^*$ tel que : $\forall\ x,y \in {[a,b]},\ |x-y| \le \frac {b-a}p \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon$.

On choisit un tel $p$, et on fixe une subdivision $(a_k)$ de $[a,b]$ telle que $a_k = a + k\frac {b-a}p$.

Soit $t \in {[0,1]}$. Encadrer $f_n\bigl(ta_k + (1-t)a_{k+1}\bigr)$ par deux fonctions affines de t en utilisant la convexité de $f_n$.

Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$.