L1 Analyse Dérivabilité des fonctions réelles Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST 2 questions

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Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ à valeurs dans $\Rr$ . Soient $a$ et $b$ deux points distincts de $I$ vérifiant $f'(a)<f'(b)$ et soit enfin un réel $m$ tel que $f'(a)<m<f'(b)$ .

Montrer qu’il existe $h>0$ tel que $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}<m<\frac{f(b+h)-f(b)}{h}$ .

Montrer qu’il existe $y$ dans $[a,b]$ tel que $m=\frac{f(y+h)-f(y)}{h}$ puis qu’il exsite $x$ tel que $f'(x)=m$ .