Soit \(f:\R \to \R\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) bornée.
1
Montrer que si une dérivée, \(f^{(k)}\), \(k\ge 2\), admet un nombre fini de zéros, alors les dérivées précédentes, \(f^{(p)}\), \(1\le p < k\), tendent vers \(0\) en \(\pm\infty\).
2
En déduire que pour tout \(k \ge 2\), \(f^{(k)}\) s’annule au moins \(k-1\) fois sur \(\R\).