L1 Analyse Dérivabilité des fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 1 question

exo7 736

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Soit ff dérivable sur R{\Rr } telle que f(ω)=ω.f(\omega )=\omega . On définit une suite (xn)n∈N(x_{n})_{n\in \Nn} par la donnée de x0x_{0} et la récurrence xn+1=f(xn).x_{n+1}=f(x_{n}). Montrer que si ∣f′(ω)∣<1,∃ϵ>0,∀x0∈]ω−ϵ,ω+ϵ[,(xn)n∈N\left| f^{\prime }(\omega )\right| <1,\exists \epsilon >0,\forall x_{0}\in ]\omega -\epsilon ,\omega +\epsilon [,(x_{n})_{n\in \Nn} converge vers w,w, et que si ∣f′(ω)∣>1\left| f^{\prime }(\omega )\right| >1 la suite (xn)n∈N(x_{n})_{n\in \Nn} converge vers ww si et seulement si elle est stationnaire (i.e. xn=ωx_{n}=\omega à partir d’un certain rang). Que dire dans le cas ∣f′(ω)∣=1\left| f^{\prime }(\omega )\right| =1 ?

Exercice v7F8

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