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Soit \(f\) dérivable sur \({\Rr }\) telle que \(f(\omega )=\omega .\) On définit une suite \((x_{n})_{n\in \Nn}\) par la donnée de \(x_{0}\) et la récurrence \(x_{n+1}=f(x_{n}).\) Montrer que si \(\left| f^{\prime }(\omega )\right| <1,\exists \epsilon >0,\forall x_{0}\in ]\omega -\epsilon ,\omega +\epsilon [,(x_{n})_{n\in \Nn}\) converge vers \(w,\) et que si \(\left| f^{\prime }(\omega )\right| >1\) la suite \((x_{n})_{n\in \Nn}\) converge vers \(w\) si et seulement si elle est stationnaire (i.e. \(x_{n}=\omega\) à partir d’un certain rang). Que dire dans le cas \(\left| f^{\prime }(\omega )\right| =1\) ?