Soient \(f,g :[a , b] \longrightarrow \R\) deux fonctions continues sur \([a, b]\) (\(a < b\)) et dérivables sur \(]a , b[.\) On suppose que \(g' (x) \neq 0\) pour tout \(x \in ]a , b[.\)
Montrer que \(g (x) \neq g (a)\) pour tout \(x \in ]a , b[.\)
Posons \(p = \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)}\) et considérons la fonction \(h (x) = f (x) - p g (x)\) pour \(x \in [a , b].\) Montrer que \(h\) vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et en déduire qu’il existe un nombre réel \(c \in ]a , b[\) tel que \[\frac{f (a) - f (b)}{g (a) - g (b)} = \frac{f' (c)}{g' (c)}.\]
On suppose que \(\lim_{x \to b^{-}} \frac{f' (x)}{g' (x)} = \ell,\) où \(\ell\) est un nombre réel. Montrer que \[\lim_{x \to b^{-}} \frac{f (x) - f (b)}{g (x) - g (b)} = \ell.\]
Application. Calculer la limite suivante: \[\lim_{x \to 1^{-}} \frac{\Arccos x}{\sqrt{1- x^{2}}}.\]