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Montrer que $g (x) \neq g (a)$ pour tout $x \in ]a , b[.$

Posons $p = \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)}$ et considérons la fonction $h (x) = f (x) - p g (x)$ pour $x \in [a , b].$ Montrer que $h$ vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et en déduire qu’il existe un nombre réel $c \in ]a , b[$ tel que $$\frac{f (a) - f (b)}{g (a) - g (b)} = \frac{f' (c)}{g' (c)}.$$

On suppose que $\lim_{x \to b^{-}} \frac{f' (x)}{g' (x)} = \ell,$ où $\ell$ est un nombre réel. Montrer que $$\lim_{x \to b^{-}} \frac{f (x) - f (b)}{g (x) - g (b)} = \ell.$$

Application. Calculer la limite suivante: $$\lim_{x \to 1^{-}} \frac{\Arccos x}{\sqrt{1- x^{2}}}.$$