1
Montrer que pour tout \(x>0\) on a : \(\displaystyle{\frac {1}{ x+1}<\hbox{log}(x+1) -\hbox{log}(x)<\frac{1}{ x}} .\)
2
En déduire que pour tout entier \(n\geq 1 :\) \(\displaystyle { \hbox{log}(n+1)< 1+ \frac{1}{ 2}+\cdots +\frac{1}{ n}<1+\hbox{log}(n)} .\)
3
Posons \(\displaystyle{u_n=1+ \frac{1}{ 2}+\cdots +\frac{1}{ n}-\hbox{log}(n)}\) Montrer que la suite \((u_n)_{n \in { \Nn}}\) est décroisante et convergente.