Extremum d'un polynôme

Justifier que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ et calculer ses dérivées partielles d’ordre 1.

Déterminer l’unique point critique $(x_0, y_0)$ de $f$ en résolvant le système $\nabla f(x,y) = \vec{0}$.

Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de $f$ et écrire la matrice Hessienne $H_f(x,y)$.

Déterminer la nature de ce point critique (minimum local, maximum local ou point selle). Calculer la valeur de l’extremum.

La fonction $f$ admet-elle des extremums globaux sur $\mathbb{R}^2$ ?