Soit une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : \[f \colon (x,y) \mapsto x^2+xy+y^2+2x+3y\]
1
Justifier que la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) et calculer ses dérivées partielles d’ordre 1.
2
Déterminer l’unique point critique \((x_0, y_0)\) de \(f\) en résolvant le système \(\nabla f(x,y) = \vec{0}\).
3
Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 de \(f\) et écrire la matrice Hessienne \(H_f(x,y)\).
4
Déterminer la nature de ce point critique (minimum local, maximum local ou point selle). Calculer la valeur de l’extremum.
5
La fonction \(f\) admet-elle des extremums globaux sur \(\mathbb{R}^2\) ?