On veut calculer \(\ell = \lim_{n \to \infty} \frac 1{n+1} + \dots + \frac 1{2n}\).
1
Montrer l’existence de \(\ell\).
2
Soit \(f : {[0,+\infty[} \to \R\) dérivable telle que \(f(0) = 0\). Montrer que \(f\left(\frac 1{n+1}\right) + \dots + f\left(\frac 1{2n}\right) \to \ell f'(0)\) lorsque \(n\to \infty\).
3
On prend \(f(x) = \ln(1+x)\). Déterminer \(\ell\).