Soit $g(t) = \ln t$ . Appliquons le théorème des accroissements finis sur $[x,y]$ . Il existe $c \in ]x,y[$ , $g(y)-g(x) = g'(c)(y-x)$ . Soit $\ln y - \ln x = \frac 1c (y-x)$ . Donc $\frac{\ln y - \ln x}{y-x} = \frac 1c$ . Or $x <c<y$ donc $\frac 1y < \frac 1c < \frac 1x$ . Ce qui donne les inégalités recherchées. $f'(\alpha)= \frac{x-y}{\alpha x + (1-\alpha)y} - \ln x + \ln y$ . Et $f''(\alpha) = -\frac{(x-y)^2}{(\alpha x + (1-\alpha)y)^2}$ . Comme $f''$ est négative alors $f'$ est décroissante sur $[0,1]$ . Or $f'(0) = \frac{x-y - y(\ln x - \ln y)}{y} >0$ d’après la première question et de même $f'(1) < 0$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in [x,y]$ tel que $f'(c) = 0$ . Maintenant $f'$ est positive sur $[0,c]$ et négative sur $[c,1]$ . Donc $f$ est croissante sur $[0,c]$ et décroissante sur $[c,1]$ . Or $f(0)=0$ et $f(1)=0$ donc pour tout $x\in[0,1]$ , $f(x) \geq 0$ . Cela prouve l’inégalité demandée. Géométriquement nous avons prouvé que la fonction $\ln$ est concave, c’est-à-dire que la corde (le segment qui va de $(x,f(x))$ à $(y,f(y)$ ) est sous la courbe d’équation $y=f(x)$ .

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