Soient \(x\) et \(y\) réels avec \(0<x<y\).
1
Montrer que \[x < \frac{y-x}{\ln y - \ln x} < y.\]
2
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0,1]\) par \[\alpha \mapsto f(\alpha) = \ln (\alpha x +(1-\alpha)y)-\alpha \ln x -(1-\alpha)\ln y.\] De l’étude de \(f\) déduire que pour tout \(\alpha\) de \(]0,1[\) \[\alpha \ln x +(1-\alpha)\ln y < \ln (\alpha x +(1-\alpha)y) .\] Interprétation géométrique ?