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Montrer que : $\forall\ x\ge 1,\ f(x+1)-f(x) \le f'(x) \le f(x)-f(x-1)$.

On pose : $\begin{cases} u_n = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) - f(n) \cr v_n = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) - f(n+1).\cr\end{cases}$ Montrer que ces suites convergent.

On prend $f(x) = \ln x$. Soit $\gamma = \lim_{n\to\infty} u_n$ (constante d’Euler). Calculer $\gamma$ à $10^{-2}$ près.