Soit \(f : {[0,+\infty[} \to {\R}\) concave, dérivable, croissante.
1
Montrer que : \(\forall\ x\ge 1,\ f(x+1)-f(x) \le f'(x) \le f(x)-f(x-1)\).
2
On pose : \(\begin{cases} u_n = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) - f(n) \cr v_n = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) - f(n+1).\cr\end{cases}\) Montrer que ces suites convergent.
3
On prend \(f(x) = \ln x\). Soit \(\gamma = \lim_{n\to\infty} u_n\) (constante d’Euler). Calculer \(\gamma\) à \(10^{-2}\) près.