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Étant données \(u\) et \(v\) des fonctions dérivables à l’ordre \(n\) sur l’intervalle \(I\), montrer par récurrence que la dérivée d’ordre \(n\) du produit \(uv\) sur cet intervalle est : \[(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}.\]
En déduire les dérivées successives des fonctions : \[x\mapsto x^2e^x \quad;\quad x\mapsto x^2(1+x)^n \quad;\quad x\mapsto \frac{x^2+1}{(x+1)^2}\quad;\quad x\mapsto x^{n-1}\ln x.\]