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Étant données $u$ et $v$ des fonctions dérivables à l’ordre $n$ sur l’intervalle $I$, montrer par récurrence que la dérivée d’ordre $n$ du produit $uv$ sur cet intervalle est : $$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}.$$

En déduire les dérivées successives des fonctions : $$x\mapsto x^2e^x \quad;\quad x\mapsto x^2(1+x)^n \quad;\quad x\mapsto \frac{x^2+1}{(x+1)^2}\quad;\quad x\mapsto x^{n-1}\ln x.$$