\(1\) et \(-1\) sont racines d’ordre \(n\) de \(A_n\) et donc racines d’ordre \(n-k\) de \(A_n^{(k)}\), pour tout \(k\) élément de \(\{0,...,n\}\).

Montrons par récurrence sur \(k\) que \(\forall k\in\{0,...,n\}\), \(A_n^{(k)}\) s’annule en au moins \(k\) valeurs deux à deux distinctes de l’intervalle \(]-1,1[\).

Pour \(k=1\), \(A_n\) est continu sur \([-1,1]\) et dérivable sur \(]-1,1[\). De plus, \(A_n(0)=A_n(1)=0\) et d’après le théorème de Rolle, \(A_n'\) s’annule au moins une fois dans l’intervalle \(]-1,1[\).

Soit \(k\) élément de \(\{1,...,n-1\}\). Supposons que \(A_n^{(k)}\) s’annule en au moins \(k\) valeurs de \(]-1,1[\). \(A_n^{(k)}\) s’annule de plus en \(1\) et \(-1\) car \(k\leq n-1\) et donc s’annule en \(k+2\) valeurs au moins de l’intervalle \([-1,1]\). D’après le théorème de Rolle, \(A_n^{(k+1)}\) s’annule en au moins \(k+1\) points de \(]-1,1[\) (au moins une fois par intervalle ouvert).

On a montré que \(\forall k\in\{0,...,n\}\), \(A_n^{(k)}\) s’annule en au moins \(k\) valeurs de \(]-1,1[\). En particulier, \(A_n^{(n)}=L_n\) s’annule en au moins \(n\) réels deux à deux distincts de \(]-1,1[\). Puisque \(L_n\) est de degré \(n\), on a trouvé toutes les racines de \(L_n\), toutes réelles, simples et dans \(]-1,1[\).

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