$1$ et $-1$ sont racines d’ordre $n$ de $A_n$ et donc racines d’ordre $n-k$ de $A_n^{(k)}$ , pour tout $k$ élément de $\{0,...,n\}$ .

Montrons par récurrence sur $k$ que $\forall k\in\{0,...,n\}$ , $A_n^{(k)}$ s’annule en au moins $k$ valeurs deux à deux distinctes de l’intervalle $]-1,1[$ .

Pour $k=1$ , $A_n$ est continu sur $[-1,1]$ et dérivable sur $]-1,1[$ . De plus, $A_n(0)=A_n(1)=0$ et d’après le théorème de Rolle, $A_n'$ s’annule au moins une fois dans l’intervalle $]-1,1[$ .

Soit $k$ élément de $\{1,...,n-1\}$ . Supposons que $A_n^{(k)}$ s’annule en au moins $k$ valeurs de $]-1,1[$ . $A_n^{(k)}$ s’annule de plus en $1$ et $-1$ car $k\leq n-1$ et donc s’annule en $k+2$ valeurs au moins de l’intervalle $[-1,1]$ . D’après le théorème de Rolle, $A_n^{(k+1)}$ s’annule en au moins $k+1$ points de $]-1,1[$ (au moins une fois par intervalle ouvert).

On a montré que $\forall k\in\{0,...,n\}$ , $A_n^{(k)}$ s’annule en au moins $k$ valeurs de $]-1,1[$ . En particulier, $A_n^{(n)}=L_n$ s’annule en au moins $n$ réels deux à deux distincts de $]-1,1[$ . Puisque $L_n$ est de degré $n$ , on a trouvé toutes les racines de $L_n$ , toutes réelles, simples et dans $]-1,1[$ .

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