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Soit $n \geq 2$ un entier fixé et $f:\R^{+} = [0, + \infty[ \longrightarrow \R$ la fonction définie par la formule suivante: $f (x) = \frac{1 + x^n}{(1 + x)^n}, \ \ x \geq 0.$

Montrer que $f$ est dérivable sur $\R^{+}$ et calculer $f' (x)$ pour $x \geq 0.$

En étudiant le signe de $f' (x)$ sur $\R^{+},$ montrer que $f$ atteint un minimum sur $\R^{+}$ que l’on déterminera.