Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures,

$\frac{\cos(\sqrt{x})-1}{x}=\frac{1}{2}\frac{\cos(\sqrt{x})-1}{(\sqrt{x})^2/2}\rightarrow-\frac{1}{2}.$

$f$ est donc dérivable à droite en $0$ et $f_d'(0)=-\frac{1}{2}$ .

Autre solution. $f$ est continue sur $\Rr$ et de classe $C^1$ sur $\Rr^*$ en vertu de théorèmes généraux. Pour $x\neq0$ , $f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin(\sqrt{x})$ . Quand $x$ tend vers $0$ , $f'$ tend vers $-\frac{1}{2}$ . En résumé, $f$ est continue sur $\Rr$ , de classe $C^1$ sur $\Rr^*$ et $f'$ a une limite réelle quand $x$ tend vers $0$ à savoir $0$ . On en déduit que $f$ est de classe $C^1$ sur $\Rr$ et en particulier, $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=-\frac{1}{2}$ .

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