Quand \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures,

\[\frac{\cos(\sqrt{x})-1}{x}=\frac{1}{2}\frac{\cos(\sqrt{x})-1}{(\sqrt{x})^2/2}\rightarrow-\frac{1}{2}.\]

\(f\) est donc dérivable à droite en \(0\) et \(f_d'(0)=-\frac{1}{2}\).

Autre solution. \(f\) est continue sur \(\Rr\) et de classe \(C^1\) sur \(\Rr^*\) en vertu de théorèmes généraux. Pour \(x\neq0\), \(f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin(\sqrt{x})\). Quand \(x\) tend vers \(0\), \(f'\) tend vers \(-\frac{1}{2}\). En résumé, \(f\) est continue sur \(\Rr\), de classe \(C^1\) sur \(\Rr^*\) et \(f'\) a une limite réelle quand \(x\) tend vers \(0\) à savoir \(0\). On en déduit que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr\) et en particulier, \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=-\frac{1}{2}\).

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