exo7 5409

Soit $f\in C^2([a,b],\Rr)\cap D^3(]a,b[,\Rr)$. Montrer qu’il existe $c\in]a,b[$ tel que

$$f(b)=f(a)+\frac{b-a}{2}(f'(a)+f'(b))-f^{(3)}(c).$$

Indication. Appliquer le théorème de Rolle à $g'$ puis $g$ où $g(x)=f(x)-f(a)-\frac{x-a}{2}(f'(x)+f'(a))-A(x-a)^3$ où $A$ est intelligemment choisi.

Que devient cette formule si on remplace $f$ par $F$ une primitive d’une fonction $f$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$ et deux fois dérivable sur $]a,b[$ ? Interprétez géométriquement.