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Soit \(f\in C^2([a,b],\Rr)\cap D^3(]a,b[,\Rr)\). Montrer qu’il existe \(c\in]a,b[\) tel que
\[f(b)=f(a)+\frac{b-a}{2}(f'(a)+f'(b))-f^{(3)}(c).\]
Indication. Appliquer le théorème de Rolle à \(g'\) puis \(g\) où \(g(x)=f(x)-f(a)-\frac{x-a}{2}(f'(x)+f'(a))-A(x-a)^3\) où \(A\) est intelligemment choisi.
Que devient cette formule si on remplace \(f\) par \(F\) une primitive d’une fonction \(f\) de classe \(C^1\) sur \([a,b]\) et deux fois dérivable sur \(]a,b[\) ? Interprétez géométriquement.