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Démontrer que $f$ est dérivable sur $\R$, en particulier en $t=0$.

Etudier l’existence de $f''(0)$.

On veut montrer que pour $t<0$, la dérivée $n$-ième de $f$ s’écrit $$f^{(n)}(t)=\frac{P_n(t)}{t^{2n}}e^{1/t}$$ où $P_n$ est un polynôme.

Trouver $P_1$ et $P_2$.

Trouver une relation de récurrence entre $P_{n+1}, P_n$ et $P'_n$ pour $n\in \N^*$.