On considère la fonction \(f : \R \to \R\) définie par \[\begin{equation} f(t) = \begin{cases} e^{1/t} & \mathrm{\ si\ } t<0\\ 0 & \mathrm{\ si\ } t \geq 0 \end{cases} \end{equation}\]
1
Démontrer que \(f\) est dérivable sur \(\R\), en particulier en \(t=0\).
2
Etudier l’existence de \(f''(0)\).
3
On veut montrer que pour \(t<0\), la dérivée \(n\)-ième de \(f\) s’écrit \[f^{(n)}(t)=\frac{P_n(t)}{t^{2n}}e^{1/t}\] où \(P_n\) est un polynôme.
4
Trouver \(P_1\) et \(P_2\).
5
Trouver une relation de récurrence entre \(P_{n+1}, P_n\) et \(P'_n\) pour \(n\in \N^*\).