\[\forall x\in\Rr f(\frac{x}{2}+3)=f(f\circ f(x))=f\circ f(f(x))=\frac{f(x)}{2}+3.\]

Puisque \(f\) est dérivable sur \(\Rr\), on obtient en dérivant \(\forall x\in\Rr,\;\frac{1}{2}f'(\frac{x}{2}+3)=\frac{1}{2}f'(x)\),

et donc

\[\forall x\in\Rr,\;f'(\frac{x}{2}+3)=f'(x).\]

Soit alors \(x\) un réel donné et \(u\) la suite définie par \(u_0=x\) et \(\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3\).

D’après ce qui précède, \(\forall n\in\Nn,\;f'(x)=f'(u_n)\). Maintenant, \(u\) est une suite arithmético-géométrique et on sait que

\[\forall n\in\Nn,\;u_n-6=\frac{1}{2^n}(u_0-6)\]

ce qui montre que la suite \(u\) converge vers \(6\). La suite \((f'(u_n))_{n\geq0}\) est constante, de valeur \(f'(x)\). \(f'\) étant continue sur \(\Rr\), on en déduit que

\[\forall x\in\Rr,\;f'(x)=\lim_{n\rightarrow +\infty}f'(u_n)=f'(\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n)=f'(6),\]

ce qui montre que la fonction \(f'\) est constante sur \(\Rr\) et donc que \(f\) est affine.

Réciproquement, pour \(x\) réel, posons \(f(x)=ax+b\).

\[\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution}&\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;a(ax+b)+b=\frac{x}{2}+3\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;(a^2-\frac{1}{2})x+ab+b-3=0\\ &\Leftrightarrow a^2=\frac{1}{2}\;\mbox{et}\;(a+1)b=3\Leftrightarrow(a=\frac{1}{\sqrt{2}}\;\mbox{et}\;b=3(2-\sqrt{2}))\;\mbox{ou}\;(a=-\frac{1}{\sqrt{2}}\;\mbox{et}\;b=3(2+\sqrt{2})). \end{align*}\]

On trouve deux fonctions solutions, les fonctions \(f_1\) et \(f_2\) définies par :

\[\forall x\in\Rr,\;f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}x+3(2-\sqrt{2})\;\mbox{et}\;f_2(x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+3(2+\sqrt{2}).\]

exo7 5423