$\forall x\in\Rr f(\frac{x}{2}+3)=f(f\circ f(x))=f\circ f(f(x))=\frac{f(x)}{2}+3.$

Puisque $f$ est dérivable sur $\Rr$ , on obtient en dérivant $\forall x\in\Rr,\;\frac{1}{2}f'(\frac{x}{2}+3)=\frac{1}{2}f'(x)$ ,

et donc

$\forall x\in\Rr,\;f'(\frac{x}{2}+3)=f'(x).$

Soit alors $x$ un réel donné et $u$ la suite définie par $u_0=x$ et $\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$ .

D’après ce qui précède, $\forall n\in\Nn,\;f'(x)=f'(u_n)$ . Maintenant, $u$ est une suite arithmético-géométrique et on sait que

$\forall n\in\Nn,\;u_n-6=\frac{1}{2^n}(u_0-6)$

ce qui montre que la suite $u$ converge vers $6$ . La suite $(f'(u_n))_{n\geq0}$ est constante, de valeur $f'(x)$ . $f'$ étant continue sur $\Rr$ , on en déduit que

$\forall x\in\Rr,\;f'(x)=\lim_{n\rightarrow +\infty}f'(u_n)=f'(\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n)=f'(6),$

ce qui montre que la fonction $f'$ est constante sur $\Rr$ et donc que $f$ est affine.

Réciproquement, pour $x$ réel, posons $f(x)=ax+b$ .

$\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution}&\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;a(ax+b)+b=\frac{x}{2}+3\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;(a^2-\frac{1}{2})x+ab+b-3=0\\ &\Leftrightarrow a^2=\frac{1}{2}\;\mbox{et}\;(a+1)b=3\Leftrightarrow(a=\frac{1}{\sqrt{2}}\;\mbox{et}\;b=3(2-\sqrt{2}))\;\mbox{ou}\;(a=-\frac{1}{\sqrt{2}}\;\mbox{et}\;b=3(2+\sqrt{2})). \end{align*}$

On trouve deux fonctions solutions, les fonctions $f_1$ et $f_2$ définies par :

$\forall x\in\Rr,\;f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}x+3(2-\sqrt{2})\;\mbox{et}\;f_2(x)=-\frac{1}{\sqrt{2}}x+3(2+\sqrt{2}).$

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