Montrons que (\(\forall x>0,\;\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}\). Soit \(x>0\).

\[\begin{align*}\ensuremath \left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1} &\Leftrightarrow x\ln(1+\frac{1}{x})<1<(x+1)\ln(1+\frac{1}{x})\\ &\Leftrightarrow x(\ln(x+1)-\ln x)<1<(x+1)(\ln(x+1)-\ln x)\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\frac{1}{x}. \end{align*}\]

Soit \(x\) un réel strictement positif fixé. Pour \(t\in[x,x+1]\), posons \(f(t)=\ln t\). \(f\) est continue sur \([x,x+1]\) et dérivable sur \(]x,x+1[\). Donc, d’après le théorème des accroissements finis, il existe un réel \(c\) dans \(]x,x+1[\) tel que \(f(x+1)-f(x)=(x+1-x)f'(c)\) ou encore

\[\exists c\in]x,x+1[/\;\ln(x+1)-\ln x=\frac{1}{c},\]

ce qui montre que \(\forall x>0,\;\frac{1}{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\frac{1}{x}\), et donc que

\[\forall x>0,\;\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<e<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}.\]

exo7 5415