La fonction \(f_1\) est dérivable en dehors de \(x=0\). En effet \(x \mapsto \frac 1x\) est dérivable sur \(\Rr^*\) et \(x \mapsto \cos x\) est dérivable sur \(\Rr\), donc par composition \(x \mapsto \cos \frac 1x\) est dérivable sur \(\Rr^*\). Puis par multiplication par la fonction dérivable \(x \mapsto x^2\), la fonction \(f_1\) est dérivable sur \(\Rr^*\). Par la suite on omet souvent ce genre de discussion ou on l’abrège sous la forme “\(f\) est dérivable sur \(I\) comme somme, produit, composition de fonctions dérivables sur \(I\)”.

Pour savoir si \(f_1\) est dérivable en \(0\) regardons le taux d’accroissement: \[\frac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}= x\cos \frac 1 x.\] Mais \(x \cos (1/x)\) tend vers \(0\) (si \(x\rightarrow 0\)) car \(|\cos (1/x)| \leq 1\). Donc le taux d’accroissement tend vers \(0\). Donc \(f_1\) est dérivable en \(0\) et \(f_1'(0)=0\). Encore une fois \(f_2\) est dérivable en dehors de \(0\). Le taux d’accroissement en \(x=0\) est : \[\frac{f_2(x)-f_2(0)}{x-0}= \frac{\sin x}{x} \sin \frac 1 x\] Nous savons que \(\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1\) et que \(\sin 1/x\) n’a pas de limite quand \(x\rightarrow 0\). Donc le taux d’accroissement n’a pas de limite, donc \(f_2\) n’est pas dérivable en \(0\). La fonction \(f_3\) s’écrit : \[f_3(x) = \frac{|x||x-1|}{x-1}.\]

Donc pour \(x \geq 1\) on a \(f_3(x) = x\) ; pour \(0 \leq x < 1\) on a \(f_3(x) = -x\) ; pour \(x <0\) on a \(f_3(x) = x\). La fonction \(f_3\) est définie, continue et dérivable sur \(\Rr \setminus \{0,1\}\). Attention ! La fonction \(x \mapsto |x|\) n’est pas dérivable en \(0\). La fonction \(f_3\) n’est pas continue en \(1\), en effet \(\lim_{x \rightarrow 1+} f_3(x) = +1\) et \(\lim_{x \rightarrow 1-} f_3(x) = -1\). Donc la fonction n’est pas dérivable en \(1\). La fonction \(f_3\) est continue en \(0\). Le taux d’accroissement pour \(x>0\) est \[\frac{f_3(x)-f_3(0)}{x-0}= \frac{-x}{x} = -1\] et pour \(x <0\), \[\frac{f_3(x)-f_3(0)}{x-0}= \frac{x}{x} = +1.\] Donc le taux d’accroissement n’a pas de limite en \(0\) et donc \(f_3\) n’est pas dérivable en \(0\).

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