La fonction $f_1$ est dérivable en dehors de $x=0$ . En effet $x \mapsto \frac 1x$ est dérivable sur $\Rr^*$ et $x \mapsto \cos x$ est dérivable sur $\Rr$ , donc par composition $x \mapsto \cos \frac 1x$ est dérivable sur $\Rr^*$ . Puis par multiplication par la fonction dérivable $x \mapsto x^2$ , la fonction $f_1$ est dérivable sur $\Rr^*$ . Par la suite on omet souvent ce genre de discussion ou on l’abrège sous la forme “ $f$ est dérivable sur $I$ comme somme, produit, composition de fonctions dérivables sur $I$ ”.

Pour savoir si $f_1$ est dérivable en $0$ regardons le taux d’accroissement: $\frac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}= x\cos \frac 1 x.$ Mais $x \cos (1/x)$ tend vers $0$ (si $x\rightarrow 0$ ) car $|\cos (1/x)| \leq 1$ . Donc le taux d’accroissement tend vers $0$ . Donc $f_1$ est dérivable en $0$ et $f_1'(0)=0$ . Encore une fois $f_2$ est dérivable en dehors de $0$ . Le taux d’accroissement en $x=0$ est : $\frac{f_2(x)-f_2(0)}{x-0}= \frac{\sin x}{x} \sin \frac 1 x$ Nous savons que $\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$ et que $\sin 1/x$ n’a pas de limite quand $x\rightarrow 0$ . Donc le taux d’accroissement n’a pas de limite, donc $f_2$ n’est pas dérivable en $0$ . La fonction $f_3$ s’écrit : $f_3(x) = \frac{|x||x-1|}{x-1}.$

Donc pour $x \geq 1$ on a $f_3(x) = x$ ; pour $0 \leq x < 1$ on a $f_3(x) = -x$ ; pour $x <0$ on a $f_3(x) = x$ .
La fonction $f_3$ est définie, continue et dérivable sur $\Rr \setminus \{0,1\}$ . Attention ! La fonction $x \mapsto |x|$ n’est pas dérivable en $0$ .
La fonction $f_3$ n’est pas continue en $1$ , en effet $\lim_{x \rightarrow 1+} f_3(x) = +1$ et $\lim_{x \rightarrow 1-} f_3(x) = -1$ . Donc la fonction n’est pas dérivable en $1$ .
La fonction $f_3$ est continue en $0$ . Le taux d’accroissement pour $x>0$ est $\frac{f_3(x)-f_3(0)}{x-0}= \frac{-x}{x} = -1$ et pour $x <0$ , $\frac{f_3(x)-f_3(0)}{x-0}= \frac{x}{x} = +1.$ Donc le taux d’accroissement n’a pas de limite en $0$ et donc $f_3$ n’est pas dérivable en $0$ .

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