On a \(f'\le 0\) donc \(f\) est décroissante sur \(\R\), et en particulier elle admet des limites finies, \(a\) et \(b\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) avec \(-1\le b\le a\le 1\).

Supposons \(a>0\) : soit \(\alpha\in{]0,a[}\). Il existe \(x_0\in\R\) tel que \(\forall\ x\le x_0,\ f(x)\ge a-\alpha > 0\), d’où \(f'(x)\le -1+\sqrt{a-\alpha}< 0\). Ceci est incompatible avec le caractère borné de \(f\), donc on a en fait \(a\le 0\). On montre de même que \(b\ge 0\) et comme \(b\le a\), on a finalement \(a=b=0\).

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