Pour tout \(n\) entier supérieur où égal à \(2\), on considère le polynôme de degré \(n\) à coefficients réels : \[P_n(X)=X^n+X^{n-1}+X^2+X-1\]
1
Soit \(n \geq 2 .\) Montrer que \(P_n\) a une unique racine réelle positive que l’on nommera \(\lambda _n .\) (On pourra étudier l’application \(X\mapsto P_n(X) .\))
2
Montrer que la suite \((\lambda _n)_{n\geq 2}\) est croissante puis qu’elle converge vers une limite que l’on notera \(\ell .\)
3
Montrer que \(\ell\) est racine du polynôme \(X^2+X-1 .\) En déduire sa valeur.