L1 Analyse Dérivabilité des fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 3 questions

exo7 1229

Pour tout nn entier supérieur où égal à 22, on considère le polynôme de degré nn à coefficients réels : Pn(X)=Xn+Xn−1+X2+X−1P_n(X)=X^n+X^{n-1}+X^2+X-1

1

Soit n≥2.n \geq 2 . Montrer que PnP_n a une unique racine réelle positive que l’on nommera λn.\lambda _n . (On pourra étudier l’application X↦Pn(X).X\mapsto P_n(X) .)

2

Montrer que la suite (λn)n≥2(\lambda _n)_{n\geq 2} est croissante puis qu’elle converge vers une limite que l’on notera ℓ.\ell .

3

Montrer que ℓ\ell est racine du polynôme X2+X−1.X^2+X-1 . En déduire sa valeur.

Exercice yO8O

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