\(f'\) est continue sur le segment \([a,b]\) et donc est bornée sur ce segment. Soit \(M=\mbox{sup}\{f'(x),\;x\in[a,b]\}\), et soit \(g\) la fonction affine qui prend les mêmes valeurs que \(f\) en \(a\) et \(b\) (c’est-à-dire \(\forall x\in[a,b],\;g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)=\)) puis \(h=f-g\). On va montrer que \(h=0\) sous l’hypothèse \(M=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

\(h\) est dérivable sur \([a,b]\) et, pour \(x\in[a,b]\), \(h'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(x)-M\leq0\). \(h\) est donc décroissante sur \([a,b]\). Par suite, \(\forall x\in[a,b],\;0=h(b)\leq h(x)\leq h(a)=0\). Ainsi, \(\forall x\in[a,b],\;h(x)=0\), ou encore \(f=g\). \(f\) est donc affine sur \([a,b]\).

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