Montrons que $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$ .

Pour $x$ réel, posons $g(x)=e^xf(x)$ . $g$ est dérivable sur $R$ et $\forall x\in\Rr,\;g'(x)=e^x(f(x)+f'(x))$ . Il s’agit donc maintenant de montrer que si $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}g'(x)=0$ alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}g(x)=0$ .

Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif.

$\exists A>0/\;\forall x\in\Rr,\;(x\geq A\Rightarrow-\frac{\varepsilon}{2}<e^{-x}g'(x)<\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow-\frac{\varepsilon}{2}e^x\leq g'(x)\leq \frac{\varepsilon}{2}e^x).$

Pour $x$ réel donné supérieur ou égal à $A$ , on obtient en intégrant sur $[A,x]$ :

$-\frac{\varepsilon}{2}(e^x-e^A)=\int_{A}^{x}-\frac{\varepsilon}{2}e^t\;dt\leq\int_{A}^{x}g'(t)\;dt=g(x)-g(A)\leq \frac{\varepsilon}{2}(e^x-e^A),$

et donc

$\forall x\geq A,\;g(A)e^{-x}-\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x})\leq e^{-x}g(x)\leq g(A)e^{-x}+\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x}).$

Maintenant, $g(A)e^{-x}-\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x})$ et $g(A)e^{-x}+\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x})$ tendent respectivement vers $-\frac{\varepsilon}{2}$ et $\frac{\varepsilon}{2}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ . Donc,

$\exists B\geq A/\;\forall x\in\Rr,\;(x\geq B\Rightarrow g(A)e^{-x}-\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x})>-\varepsilon\;\mbox{et}\;<g(A)e^{-x}-\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x}) <\varepsilon.$

Pour $x\geq B$ , on a donc $-\varepsilon<e^{-x}g(x)<\varepsilon$ .

On a montré que $\forall\varepsilon>0,\;\exists B>0/\;\forall x\in\Rr,\;(x\geq B\Rightarrow|e-xg(x)|<\varepsilon)$ et donc $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}g(x)=0$ ce qu’il fallait démontrer.

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