Montrons que \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0\).

Pour \(x\) réel, posons \(g(x)=e^xf(x)\). \(g\) est dérivable sur \(R\) et \(\forall x\in\Rr,\;g'(x)=e^x(f(x)+f'(x))\). Il s’agit donc maintenant de montrer que si \(\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}g'(x)=0\) alors \(\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}g(x)=0\).

Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif.

\[\exists A>0/\;\forall x\in\Rr,\;(x\geq A\Rightarrow-\frac{\varepsilon}{2}<e^{-x}g'(x)<\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow-\frac{\varepsilon}{2}e^x\leq g'(x)\leq \frac{\varepsilon}{2}e^x).\]

Pour \(x\) réel donné supérieur ou égal à \(A\), on obtient en intégrant sur \([A,x]\) :

\[-\frac{\varepsilon}{2}(e^x-e^A)=\int_{A}^{x}-\frac{\varepsilon}{2}e^t\;dt\leq\int_{A}^{x}g'(t)\;dt=g(x)-g(A)\leq \frac{\varepsilon}{2}(e^x-e^A),\]

et donc

\[\forall x\geq A,\;g(A)e^{-x}-\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x})\leq e^{-x}g(x)\leq g(A)e^{-x}+\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x}).\]

Maintenant, \(g(A)e^{-x}-\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x})\) et \(g(A)e^{-x}+\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x})\) tendent respectivement vers \(-\frac{\varepsilon}{2}\) et \(\frac{\varepsilon}{2}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). Donc,

\[\exists B\geq A/\;\forall x\in\Rr,\;(x\geq B\Rightarrow g(A)e^{-x}-\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x})>-\varepsilon\;\mbox{et}\;<g(A)e^{-x}-\frac{\varepsilon}{2}(1-e^{A-x}) <\varepsilon.\]

Pour \(x\geq B\), on a donc \(-\varepsilon<e^{-x}g(x)<\varepsilon\).

On a montré que \(\forall\varepsilon>0,\;\exists B>0/\;\forall x\in\Rr,\;(x\geq B\Rightarrow|e-xg(x)|<\varepsilon)\) et donc \(\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}g(x)=0\) ce qu’il fallait démontrer.

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