Soit \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) à valeurs dans \({ \Rr} .\) Pour chaque \(n \in { \Nn}\), on note \(g_n\) la fonction \(\displaystyle{ x\mapsto f(x+\frac{1 }{ n})-f(x)} .\)
1
On suppose \(g_n(x)>0\) pour tout \(\displaystyle{ x\in [0,1-\frac{1}{ n}[} .\) Montrer que \(f(1)>f(0) .\)
2
On suppose désormais que \(f(0)=f(1) .\) Montrer que, pour chaque \(n \in { \Nn} ,\) la fonction \(g_n\) s’annule en au moins un point de l’intervalle \(\displaystyle{ [0,1-\frac{1}{ n}]} .\)