L1 Analyse Dérivabilité des fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 1228

Soit ff une fonction continue de [0,1][0,1] à valeurs dans R.{ \Rr} . Pour chaque n∈Nn \in { \Nn}, on note gng_n la fonction x↦f(x+1n)−f(x).\displaystyle{ x\mapsto f(x+\frac{1 }{ n})-f(x)} .

1

On suppose gn(x)>0g_n(x)>0 pour tout x∈[0,1−1n[.\displaystyle{ x\in [0,1-\frac{1}{ n}[} . Montrer que f(1)>f(0).f(1)>f(0) .

2

On suppose désormais que f(0)=f(1).f(0)=f(1) . Montrer que, pour chaque n∈N,n \in { \Nn} , la fonction gng_n s’annule en au moins un point de l’intervalle [0,1−1n].\displaystyle{ [0,1-\frac{1}{ n}]} .

Exercice JjEW

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