\(Q_n(t) = (1-t^2)^n\) est un polynôme de degré \(2n\), on le dérive \(n\) fois, on obtient un polynôme de degré \(n\). Les valeurs \(-1\) et \(+1\) sont des racines d’ordre \(n\) de \(Q_n\), donc \(Q_n(1)=Q_n'(1)=\ldots = Q_n^{(n-1)}(1)=0\). Même chose en \(-1\). Enfin \(Q(-1)=0=Q(+1)\) donc d’après le théorème de Rolle il existe \(c \in ]-1,1[\) telle que \(Q_n'(c)=0\).

Donc \(Q_n'(-1)=0\), \(Q_n'(c)=0\), \(Q_n'(-1)=0\). En appliquant le théorème de Rolle deux fois (sur \([-1,c]\) et sur \([c,+1]\)), on obtient l’existence de racines \(d_1,d_2\) pour \(Q_n''\), qui s’ajoutent aux racines \(-1\) et \(+1\).

On continue ainsi par récurrence. On obtient pour \(Q_n^{(n-1)}\), \(n+1\) racines: \(-1, e_1,\ldots, e_{n-1}, +1\). Nous appliquons le théorème de Rolle \(n\) fois. Nous obtenons \(n\) racines pour \(P_n = Q_n^{(n)}\). Comme un polynôme de degré \(n\) a au plus \(n\) racines, nous avons obtenu toutes les racines. Par constructions ces racines sont réelles distinctes, donc simples.

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