L1 Analyse Dérivabilité des fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 2 questions

exo7 1234

Soit ff une fonction dérivable et aa un réel. Soit h>0h>0 un nombre réel strictement positif fixé.

1

Montrer qu’il existe θ∈]0,1[\theta \in ]0,1[ tel que f(a+h)−2f(a)+f(a−h)h=f′(a+θh)−f′(a−θh).\displaystyle{\frac {f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{ h}=f'(a+\theta h)-f'(a-\theta h)} .

2

Pour tout h≠0h\not = 0 on note : φ(h)=f(a+h)−2f(a)+f(a−h)h2.\displaystyle{ \varphi (h)=\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{ h^2}} . Montrer que si f′′(a)f''(a) existe, alors lim⁡h→0φ(h)=f′′(a).\displaystyle{\lim _{h\rightarrow 0}\varphi(h)=f''(a) }.

Exercice Ja5x

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