Soit \(f\) une fonction dérivable et \(a\) un réel. Soit \(h>0\) un nombre réel strictement positif fixé.
1
Montrer qu’il existe \(\theta \in ]0,1[\) tel que \[\displaystyle{\frac {f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{ h}=f'(a+\theta h)-f'(a-\theta h)} .\]
2
Pour tout \(h\not = 0\) on note : \(\displaystyle{ \varphi (h)=\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{ h^2}} .\) Montrer que si \(f''(a)\) existe, alors \(\displaystyle{\lim _{h\rightarrow 0}\varphi(h)=f''(a) }.\)