\(f\) est \(C^{\infty}\), donc différentiable, en tout point \((x,y)\) où \(2x^3 + y^2\) ne s’annule pas. Soit maintenant un point \((x_0, y_0)\) tel que \(2x_0^3 + y_0^2 = 0\). On suit la méthode du poly, chap.2, §II.6.

\(f\) est continue.
On calcule, si elles existent, le dérivées partielles de \(f\) en \((x_0,y_0)\). Pour ce faire, on va utiliser le théorème 2.2 du poly, appliqué à la fonction partielle \(x \mapsto f(x,y_0)\). Cette fonction est dérivable sur \(\R-\{x_0\}\) et sa dérivée vaut \[\dpa{f}{x}(x,y_0) = \frac{1}{5}(6x^2)(2x^3+y_0^2)^{1/5-1} = \frac{6x^2}{5(2x^3+y_0^2)^{4/5}}\] Or quand \(x \to x_0+\), \(2x^3+y_0^2 \to 0_+\) et \(\dpa{f}{x}(x,y_0) \to +\infty\). Le théorème 2.2 assure alors que le taux d’accroissement \[\frac{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x-x_0}\] tend aussi vers \(+\infty\) quand \(x \to x_0+\). Et donc \(f\) n’admet pas de dérivée partielle par rapport à \(x\) en \((x_0,y_0)\). Ceci permet dès à présent de conclure que \(f\) n’est pas différentiable en \((x_0,y_0)\). Mais on pourrait prouver, en bonus et de manière analogue, que \(f\) n’admet pas non plus de dérivée partielle par rapport à \(y\) en \((x_0,y_0)\).

En synthèse, nous avons montré que

Différentiabilité