$f$ est $C^{\infty}$ , donc différentiable, en tout point $(x,y)$ où $2x^3 + y^2$ ne s’annule pas. Soit maintenant un point $(x_0, y_0)$ tel que $2x_0^3 + y_0^2 = 0$ . On suit la méthode du poly, chap.2, §II.6.

$f$ est continue.
On calcule, si elles existent, le dérivées partielles de $f$ en $(x_0,y_0)$ . Pour ce faire, on va utiliser le théorème 2.2 du poly, appliqué à la fonction partielle $x \mapsto f(x,y_0)$ . Cette fonction est dérivable sur $\R-\{x_0\}$ et sa dérivée vaut $\dpa{f}{x}(x,y_0) = \frac{1}{5}(6x^2)(2x^3+y_0^2)^{1/5-1} = \frac{6x^2}{5(2x^3+y_0^2)^{4/5}}$ Or quand $x \to x_0+$ , $2x^3+y_0^2 \to 0_+$ et $\dpa{f}{x}(x,y_0) \to +\infty$ . Le théorème 2.2 assure alors que le taux d’accroissement $\frac{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x-x_0}$ tend aussi vers $+\infty$ quand $x \to x_0+$ . Et donc $f$ n’admet pas de dérivée partielle par rapport à $x$ en $(x_0,y_0)$ . Ceci permet dès à présent de conclure que $f$ n’est pas différentiable en $(x_0,y_0)$ . Mais on pourrait prouver, en bonus et de manière analogue, que $f$ n’admet pas non plus de dérivée partielle par rapport à $y$ en $(x_0,y_0)$ .

En synthèse, nous avons montré que

$f$ est différentiable en $(x,y)\in\R^2$ si et seulement si $2x^3+y^2 \neq 0$

Différentiabilité