\(f\) est de classe \(^\infty\) sur \(\Rr^*\) en vertu de théorèmes généraux.

Montrons par récurrence que \(\forall n\in\Nn,\;\exists P_n\in\Rr[X]/\;\forall x\in\Rr^*,\;f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}e^{-1/x^2}\).

C’est vrai pour \(n=0\) avec \(P_0=1\).

Soit \(n\geq0\). Supposons que \(\exists P_n\in\Rr[X]/\;\forall x\in\Rr^*,\;f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}e^{-1/x^2}\). Alors, pour \(x\in\Rr^*\),

\[f^{(n+1)}(x)=(\frac{2}{x^3}\frac{P_n(x)}{x^{3n}}+(P_n'(x)\frac{1}{x^{3n}}-3nP_n(x)\frac{1}{x^{3n+1}})e^{-1/x^2} =\frac{P_{n+1}(x)}{3^{3(n+1)}}e^{-1/x^2},\]

où \(P_n+1=2P_n+X^3P_n'-3nX^2P_n\) est un polynôme. On a montré que

\[\forall n\in\Nn,\;\exists P_n\in\Rr[X]/\;\forall x\in\Rr^*,\;f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}e^{-1/x^2}.\]

Montrons alors par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(f\) est de classe \(C^n\) sur \(\Rr\) et que \(f^{(n)}(0)=0\).

Pour \(n=0\), \(f\) est continue sur \(\Rr^*\) et de plus, \(\lim_{x\rightarrow 0,\;x\neq0}f(x)=0=f(0)\). Donc, \(f\) est continue sur \(\Rr\).

Soit \(n\geq0\). Supposons que \(f\) est de classe \(C^n\) sur \(\Rr\) et que \(f^{(n)}(0)=0\). Alors, d’une part \(f\) est de classe \(C^n\) sur \(\Rr\) et \(C^{n+1}\) sur \(\Rr^*\) et de plus, d’après les théorèmes de croissances comparées, \(f^{(n+1)}(x)=\frac{P_{n+1}(x)}{x^{3n+3}}e^{-1/x^2}\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\), \(x\neq 0\). D’après un théorème classique d’analyse, \(f\) est de classe \(C^{n+1}\) sur \(\Rr\) et en particulier, \(f^{(n+1)}(0)=\lim_{x\rightarrow 0,\;x\neq0}f^{(n+1)}(x)=0\).

On a montré par récurrence que \(\forall n\in\Nn\), \(f\) est de classe \(C^n\) sur \(\Rr\) et que \(f^{(n)}(0)=0\). \(f\) est donc de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr\).

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