$f$ est de classe $^\infty$ sur $\Rr^*$ en vertu de théorèmes généraux.

Montrons par récurrence que $\forall n\in\Nn,\;\exists P_n\in\Rr[X]/\;\forall x\in\Rr^*,\;f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}e^{-1/x^2}$ .

C’est vrai pour $n=0$ avec $P_0=1$ .

Soit $n\geq0$ . Supposons que $\exists P_n\in\Rr[X]/\;\forall x\in\Rr^*,\;f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}e^{-1/x^2}$ . Alors, pour $x\in\Rr^*$ ,

$f^{(n+1)}(x)=(\frac{2}{x^3}\frac{P_n(x)}{x^{3n}}+(P_n'(x)\frac{1}{x^{3n}}-3nP_n(x)\frac{1}{x^{3n+1}})e^{-1/x^2} =\frac{P_{n+1}(x)}{3^{3(n+1)}}e^{-1/x^2},$

où $P_n+1=2P_n+X^3P_n'-3nX^2P_n$ est un polynôme. On a montré que

$\forall n\in\Nn,\;\exists P_n\in\Rr[X]/\;\forall x\in\Rr^*,\;f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{x^{3n}}e^{-1/x^2}.$

Montrons alors par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $f$ est de classe $C^n$ sur $\Rr$ et que $f^{(n)}(0)=0$ .

Pour $n=0$ , $f$ est continue sur $\Rr^*$ et de plus, $\lim_{x\rightarrow 0,\;x\neq0}f(x)=0=f(0)$ . Donc, $f$ est continue sur $\Rr$ .

Soit $n\geq0$ . Supposons que $f$ est de classe $C^n$ sur $\Rr$ et que $f^{(n)}(0)=0$ . Alors, d’une part $f$ est de classe $C^n$ sur $\Rr$ et $C^{n+1}$ sur $\Rr^*$ et de plus, d’après les théorèmes de croissances comparées, $f^{(n+1)}(x)=\frac{P_{n+1}(x)}{x^{3n+3}}e^{-1/x^2}$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ , $x\neq 0$ . D’après un théorème classique d’analyse, $f$ est de classe $C^{n+1}$ sur $\Rr$ et en particulier, $f^{(n+1)}(0)=\lim_{x\rightarrow 0,\;x\neq0}f^{(n+1)}(x)=0$ .

On a montré par récurrence que $\forall n\in\Nn$ , $f$ est de classe $C^n$ sur $\Rr$ et que $f^{(n)}(0)=0$ . $f$ est donc de classe $C^\infty$ sur $\Rr$ .

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